Geometrie

simple:Geometry Die Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit Punkten und Geraden als Grundobjekten.

Allgemein beschreibt Geometrie eine Menge von Punkten ohne spezifische Struktur. Eine Unterscheidung kann aufgrund der lokalen Dimensionalität einer Geometrie getroffen werden:

Eine Kurve beschreibt eine Geometrie, die lokal eine eindimensionale Struktur besitzt.
Eine Fläche beschreibt eine Geometrie, die lokal eine zweidimensionale Struktur besitzt.
Ein Körper bzw. ein Volumen beschreibt eine Geometrie, die lokal eine dreidimensionale Struktur besitzt.

Es gibt nicht eine einzige Geometrie, sondern viele als Geometrie bezeichnete Systeme in der Mathematik, die jeweils ihre eigenen Axiome besitzen.

Die der Anschauung zugänglichste euklidische Geometrie macht Aussagen über Kreise, Dreiecke, die Platonischen Körper, etc.

Table of contents

1 Themenbereiche

1.1 Geometrien
1.2 Verbindung von Geometrien mit anderen Zweigen der Mathematik
1.3 Tätigkeiten und Werkzeuge in der Geometrie
1.4 Geometriesoftware

2 Geschichte der Geometrie
3 Literatur
4 Weblinks

Themenbereiche

Geometrien

Euklidische Geometrie
Nichteuklidische Geometrie
Hyperbolische Geometrie
Projektive Geometrie

Verbindung von Geometrien mit anderen Zweigen der Mathematik

Differentialgeometrie
Vektor- und Tensorrechnung
Analytische Geometrie
Stochastische Geometrie
Fraktale Geometrie
Algebraische Geometrie
Topologie
Algorithmische Geometrie
Planimetrie
Trigonometrie
Mathematische Kartografie
Abbildungsgeometrie

Tätigkeiten und Werkzeuge in der Geometrie

Zirkel (Gerät) und Lineal
Geodreieck
Computer
Spiegeln, Verschieben, Drehen
Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, ...
Geometrie im Koordinatensystem mit Angabe der Kurvengleichung
Kegelschnitte als Konstruktionsobjekte

Geometriesoftware

Interaktive Geometrieprogramme wie GEONExT (Kostenlos unter www.geonext.de), Euklid, Cabri-Geometre, Geometer's Sketchpad, Cinderella u.a. ermöglichen die zeichnerische Erforschung der Geometrie ohne auf eine Vorgabe festgelegt zu sein.

Interaktiv bedeutet hier, dass eine einmal genau festgelegte Konstruktion erhalten bleibt, auch wenn man die Ausgangsobjekte verändert.

Zitat: "Die Geometrie ist vor der Erschaffung der Dinge, gleich ewig wie der Geist Gottes selbst und hat in ihm die Urbilder für die Erschaffung der Welt geliefert." (Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619)

Geschichte der Geometrie

In den frühen Hochkulturen gaben

Landvermessung,
astronomische Beobachtungen und
der Bau von Tempeln, Pyramiden und Brücken

erste Anstöße zu geometrischen Überlegungen.

Es mussten

Winkel gemessen und konstruiert,
Flächen- und Rauminhalte berechnet

werden.

Die Griechen schufen mit Axiomen und davon abgeleiten Lehrsätzen und der Logik des Aristoteles die Grundlage für den Beweis der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse. Sie machten die Geometrie zu einer Wissenschaft und benutzten sie zum Beweis algebraischer und zahlentheoretischer Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die damals bekannten Kenntnisse in der Geometrie in seinem Buch "Die Elemente" zusammen. "Die Elemente" waren bis in die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie.

Im Mittelalter erhielt die Geometrie im Bereich der Trigonometrie (Dreickslehre) neuen Aufschwung in Indien und in den Ländern des Islam.

In der Neuzeit verlagert sich die Entwicklung der Geometrie wieder nach Europa.

Im 17. Jh. entsteht die analytische Geometrie und
im 18. Jh. die Differentialgeometrie als Bindeglied zur Analysis.
Das 19. Jh. bringt wieder eine stärkere Hinwendung zur klassischen Geometrie. Das euklidische Parallelenpostulat wird durch Angabe nichteuklidischer Geometrien abgeändert. Es werden die Klassische Probleme Der Antiken Mathematik (Quadratur des Kreises, Würfelverdopplung, Dreiteilung des Winkels) mit algebraischen Methoden gelöst.

In der Topologie, der Graphentheorie und der algebraischen Geometrie werden Methoden der Geometrie mit anderen Zweigen der Mathematik verknüpft.

Im 20. Jh. wird die Geometrie durch moderne Axiomensysteme neue begründet.

Die Darstellende Geometrie ist in Gestalt der Computersimulation zu einem wichtigen Hilfsmittel in vielen Bereichen unseres Lebens geworden.

Literatur

Euklid. Die Elemente.

H. M. S. Coxeter. Introduction to Geometry.