Funktion (Mathematik)

Eine Funktion (engl.: function) drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell wurden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (das Argument) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert) transformiert. In der Schulmathematik lernt man beispielsweise einfache Funktionen wie: y = 2x + 3 oder y = x².

Heute definiert man Funktionen in Begriffen der Mengenlehre.

Ein Synonym zu Funktion ist Abbildung (engl.: map oder mapping).

Table of contents

1 Definition

1.1 Schreibweisen und Sprechweisen

2 Beispiel
3 Wichtige Eigenschaften von Funktionen
4 Wichtige Begriffe
5 Wichtige Funktionen
6 Einteilung reeller Funktionen
7 Links

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge (Definitionsbereich) A genau ein Element einer Wertemenge (Wertebereich) B zu. Eine Funktion ist daher eine linkstotale und rechtseindeutige Relation.

Schreibweisen und Sprechweisen

(bzw. f: A -> B im Textmodus) statt f ⊆ A × B,
"Funktion f von A nach B"
(bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt (x,y) in f.
"x wird abgebildet auf f von x"
"y ist f von x".

Beispiel

f: R -> R
f: x -> x²
f(x) = x².

Wichtige Eigenschaften von Funktionen

Injektivität
Surjektivität
Bijektivität (sowohl injektiv als auch surjektiv)
Monotonie
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Glattheit (unendlich oft stetig differenzierbar)
Integrierbarkeit

Wichtige Begriffe

Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).

Das Bild einer Funktion (engl.: range oder image) ist die Menge aller Bilder, also f(A) = { f(x) : x in A }
Das Urbild (engl.: preimage) eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild y ist. Man schreibt f ^-1(y) = { x in A : f(x) = y }.
Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f ^-1(M) = { x in A : f(x) in M }.
Die Komposition (engl.: composition) ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
Die Umkehrfunktion (engl.: inverse function) einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)

Wichtige Funktionen

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

In der Informatik treten Funktionen auch als Konstrukte in Programmiersprachen auf.

Einteilung reeller Funktionen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen. Hier eine Einteilung reeller Funktionstypen (f: R -> R):

homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n
Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x² + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₁·x + a₀ oder
rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
ganzrationale Funktion: Synonym für Polynom-Funktion
gebrochenrationale Funktion: Synonym für rationale Funktion
echt gebrochenrationale Funktion: rationale Funktion, deren Zählerpolynom einen kleineren Grad als das Nennerpolynom hat
unecht gebrochenrationale Funktion: rationale Funktion, deren Zählerpolynom einen Grad größer oder gleich dem Nennerpolynom hat; ist Summe eines Polynoms und einer echt gebrochenrationalen Funktion
Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
Algebraische Funktion: Polynom, gebrochenrationale Funktion, Wurzelfunktion
Transzendente Funktion: Exponentialfunktion, Logarithmus, trigonometrische Funktionen, Hyperbelfunktionen
elementare Funktion: Bezeichnung für bestimmte Typen klassischer Funktionen, vor allem algebraische, transzendente Funktionen, sowie die Betragsfunktion, Maximumfunktion und Minimumfunktion, die Gaußsche Ganzzahlfunktion, und Funktionen, die aus diesen durch die Grundrechenarten zusammengesetzt sind
nichtelementare Funktion: jede Funktion, die sich nicht durch elementare Funktion ausdrücken lässt