Algebra

Die Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik. Der Name leitet sich vom indischen Aryabhattiya einem mathematischen Lehrbuch des Mathematikers Aryabhatta aus dem 5. Jahrhundert ab, während die eigentliche Methode Bijaganitam genannt wurde.

Im 13. Jahrhundert übernahmen und verfeinerten die Araber diese Methode und nannten sie al-janbr meint: "das Zusammenfügen gebrochener Teile", was aus dem Titel des Rechen-Lehrbuchs von Al-Khwarizmi entnommen ist.

Die elementare Algebra umfasst die Rechenregeln der reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken und Gleichungen, die Variablen enthalten, und Wege zur Bestimmung der Lösungen einfacher algebraischer Gleichungen.

Die klassische Algebra beschäftigt sich mit dem Lösen allgemeiner algebraischer Gleichungen über den reellen oder komplexen Zahlen. Eine algebraische Gleichung erhält man durch Nullsetzen eines Polynoms, also z.B.

x²+1 = 0

Der Grad des Polynoms ist dann der Grad der Gleichung. Gleichungen 1., 2. beziehungsweise 3. Grades heißen lineare, quadratische beziehungsweise kubische Gleichungen. Quadratische Gleichungen können mit der pq-Formel oder der Mitternachtsformel gelöst werden, Gleichungen 3. Grades mit der cardanischen Formel (nach Geronimo Cardano, 1501-1576). Für Gleichungen 4. Grades entdeckte Ferrari, ein Schüler Cardanos eine (für die Praxis ungeeignete) Lösungsformel. Für algebraische Gleichungen höheren Grades gibt es keine allgemeine Lösungsformel. (Beweis mit Hilfe der Galoistheorie)

1799 bewies Carl Friedrich Gauß den Fundamentalsatz der Algebra: "Jede algebraische Gleichung n-ten Grades besitzt genau n komplexe Lösungen".

In der modernen Mathematik beschäftigt man sich in der Algebra mit algebraischen Strukturen Gruppe, Ringe, Körper, ... und deren Verknüpfung (siehe abstrakte Algebra). Die Theorie von Vektorräumen sowie das Lösen linearer Gleichungssysteme wird in der linearen Algebra behandelt.

Verallgemeinerungen der abstrakten Algebra werden in der universellen Algebra und der Kategorientheorie behandelt.

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